こんな簡単な方程式でも解が得られない、という驚愕の事実

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中学や高校で習う代数は覚えているでしょうか。 $x+1 = 7$ という方程式を $x$ について解きなさい、というやつですね。

左辺の１を右辺に移項して、 $x = 7-1$ 。したがって、 $x = 6$ となります。

これは簡単ですね。分数が入ったりするバージョンもありますが、基本は同じです。

では少し、すすめて、こんなのはどうでしょうか、 $x^3 = A + B$ ？ A とB はそれぞれ、ある定数です。

これは、右辺の立方根をとることになるので、 $x = \sqrt[3]{A+B}$ がｘについての解です。

ここまでくると、高校のレベルを超えていることになるでしょうか。次も「大人」レベルですが、 $\sin x = A$ はどうでしょうか？

つまり、サインという関数の中にｘが入ってしまっている状態ですね。これだと、割ったり引いたりでは、ｘが出てきません。

そこで、「逆関数」を演算するという方法を取ります。逆関数は関数の逆、つまり、逆関数 $\times$ 関数＝１という定義です。まぁ、数と逆数の関係のような感じです。

サインの逆関数はアークサインと言います。 $\arcsin x$ などと書きます。教科書によっては、 $\sin^{-1}x$ とも表現しています。

そうすると、上の問題は、 $x = \arcsin A$ が答えです。このように、関数同士の演算方法がわかれば、ほとんどの方程式でｘについて解けると思います。

では、これはどうでしょうか？ $\tan x = x$ 。簡単な式ですよね。さっきの応用のようにタンジェントの逆関数を使ってみましょう。

$x = \arctan x$ になります。さぁ、どうでしょう？あれ、まだｘがアークタンジェントの中に入ってますね。

お気づきでしょうが、この場合、代数的にｘを表現することはできません。これを「超越方程式」といいます。すべての超越方程式が代数的に解けないわけではないですが、このようになってしまうことが多いのは事実です。

どうやって解くのかと言いますと、「泥臭い」ですが、数値を変えながら、両辺がイコールになるように試行錯誤していきます。

実は、こういう方程式は物理の場でも見かけます。 $\tan x = x$ は、量子力学の基本的な問題を解く時に出てきます。